Choix de l'expression la plus efficace - Exemple

Nous allons calculer le produit scalaire \(\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}\) dans chacun des cas suivants en choisissant l'expression qui rend son calcul le plus simple possible.

• Dans la Figure 1, \(\text B\) est le projeté orthogonal de \(\text C\) sur \((\text A\text B)\) . On a donc   \(\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=\text A\text B\times \text A\text B=\text A\text B^2=3^2=9\) .
  
• Dans la Figure 2, on utilise l'expression du produit scalaire avec les normes. On a   \(\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=\dfrac1 2(\text A\text C^2+\text A\text B^2-\text B\text C^2)=\dfrac 1 2 (36+16-9)=\dfrac {43} 2\) .
  
• Dans la Figure 3, on reconnaît un repère orthonormé et on peut utiliser l'expression avec les coordonnées des vecteurs \(\vec {\text A\text B} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) et  \(\vec {\text A\text C} \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) . Ainsi \(\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=2\times (-1)+2\times 4=6\) .
  
• Dans la Figure 4, on utilise l'identité remarquable \(\vec{\text B\text C}^2=(\vec{\text A\text C}-\vec{\text A\text B})^2\) qui donne \(\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=\dfrac1 2 (\text A\text B^2+\text A\text C^2-\text B\text C^2)=26,125\) .
  
• Enfin, dans la Figure 5, on utilise la formule avec le cosinus et on a   \(\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=\text A\text B\times \text A\text C \times \cos(\dfrac{\pi}{4})=3\sqrt{2}\) .